W 1994 r. otrzymał Litewską Narodową Nagrode Kultury i Sztuki. Przez wiele lat pracował w Rosji, w latach 2007–2022 był dyrektorem artystycznym Państwowego Akademickiego Teatru im. Wachtangowa w Moskwie.
Laureat Złotej Maski za „Eugeniusza Oniegina” według Puszkina (2010). Przedstawienia Tuminasa były wielokrotnie pokazywane w Polsce, m.in. na toruńskim festiwalu Kontakt. Wśród nich były te najważniejsze jego realizacje, jak „Wujaszek Wania” Czechowa, „Maskarada” Lermontowa czy „Madagaskar” Ivaškievičiusa.
Reżyser dwukrotnie pracował w Polsce. W 2001 r. wystawił „Romea i Julię” Szekspira we Wrocławskim Teatrze Współczesnym, a w roku 2006 „Sługę dwóch panów” Goldoniego w warszawskim Teatrze Studio.
Ostatnio pracował w Izraelu i Włoszech, cierpiał na chorobe onkologiczną.
Ostatnimi spektaklami Tuminasa były „Upiory” Ibsena pokazane w Wenecji oraz „Anna Karenina” według Tołstoja wystawiona w Tel Awiwie.
